矩阵可逆的充要条件（矩阵可逆的充要条件为什么是行列式不为0）

矩阵可逆的充分必要条件是什么?

1、矩阵可逆的充分必要条件：AB=E；A为满秩矩阵（即r(A)=n）；A的特征值全不为0；A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）。

2、因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，而矩阵可逆的充要条件是行列式不等于0，所以矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不等于0。

3、A可逆的充要条件：|A|不等于0。r（A）=n。A的列（行）向量组线性无关。A的特征值中没有0。A可以分解为若干初等矩阵的乘积。矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。

4、矩阵可逆的充分必要条件：A非奇异、|A|≠0、A可表示成初等矩阵的乘积、A等价于n阶单位矩阵、r(A)=n、A的列(行)向量权组线性无关等。

5、充分性：A=0，则A=0(由转置的定义)，则AA=0(由矩阵乘法的定义)。必要性：当AA=0时，我们取任意的非零向量x，就会有x(AA)x=0。矩阵的乘法具有结合律上式就变成了(xA)(Ax)=0由转置的脱衣原则，上式就变成了(Ax)(Ax)=0。

6、矩阵可逆是指一个矩阵拥有对应逆矩阵的情况。在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E或AB=E、BA=E任满足一个，其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的。

矩阵可逆的必要条件是什么

矩阵可逆的充分必要条件：AB=E；A为满秩矩阵（即r(A)=n）；A的特征值全不为0；A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）。

因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，而矩阵可逆的充要条件是行列式不等于0，所以矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不等于0。

可逆矩阵的充要条件介绍如下：A可逆的充要条件：|A|不等于0。r（A）=n。A的列（行）向量组线性无关。A的特征值中没有0。A可以分解为若干初等矩阵的乘积。矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。

矩阵可逆的五个充要条件包括：行列式不等于0。如果一个矩阵的行列式为0，则该矩阵不可逆。矩阵的秩等于其行数或列数。如果矩阵的秩小于其行数或列数，则该矩阵不可逆。矩阵的列向量（或行向量）线性无关。如果矩阵的列向量（或行向量）线性相关，则该矩阵不可逆。

可逆的充要条件

1、A可逆的充要条件：|A|不等于0。r（A）=n。A的列（行）向量组线性无关。A的特征值中没有0。A可以分解为若干初等矩阵的乘积。矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。

2、从几个充要条件中可知，矩阵是否可逆与向量的相关性、线性方程组的解的情况以及特征值均可建立起联系。|A|≠0，充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。

3、因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，而矩阵可逆的充要条件是行列式不等于0，所以矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不等于0。

4、矩阵可逆的充分必要条件：AB=E；A为满秩矩阵（即r(A)=n）；A的特征值全不为0；A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）。

矩阵A可逆的充分必要条件是

充分性：A=0，则A=0(由转置的定义)，则AA=0(由矩阵乘法的定义)。必要性：当AA=0时，我们取任意的非零向量x，就会有x(AA)x=0。矩阵的乘法具有结合律上式就变成了(xA)(Ax)=0由转置的脱衣原则，上式就变成了(Ax)(Ax)=0。n*n矩阵与n*1阶矩阵相乘.因此Ax是一个n维列向量。

方阵A可逆的充分必要条件有以下：①|A|≠0。并且当A可逆时，有A^-1=A*/|A|。（A*是A的伴随矩阵，A^-1是A的逆矩阵）②对于n阶矩阵A，存在n阶矩阵B，使AB=E（或BA=E），并且当A可逆时，B=A^-1。③A可以经过有限次初等变化为单位矩阵。④A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。

矩阵可逆的充分必要条件：AB=E；A为满秩矩阵（即r(A)=n）；A的特征值全不为0；A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）。

先证明必要性：矩阵A可逆，则其n个行（或列）向量，必然线性无关（否则，线性相关，则必然导致矩阵的秩小于n，从而不可逆，得出矛盾！）因而构成n维向量空间的一组基。