行测知识点:三集合容斥原理题型剖析
容斥原理：指计数时先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把重复计算的数目排斥出去。容斥问题分为：两者容斥问题、三者容斥问题。1）两者容斥问题 ①解决方法：如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。三集合容斥问题的核心公式如下：标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。
首先，大家应该有一个明确的认识，在行测考试中的容斥原理按集合多少可分为两集合容斥原理和三集合容斥原理，今天，我们着重的讲解对象，就是三集合容斥原理。其次，三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的标准型公式。
容斥原理听上去很高深的一个玩意，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。其实也就是这样。两集合的容斥关系公式：AB=A+B-AB。 如果被计数的事物有A、B两类。
容斥原理的直观意义是，为了计算三个集合的并集，我们首先加上每个集合的元素数量，然后减去同时属于两个集合的元素数量，最后再加上同时属于三个集合的元素数量，以避免重复计算。通过应用容斥原理，我们可以解决一些集合数量关系的问题，例如计算事件之间的交集、并集和互斥事件的概率等。
三集合容斥原理的公式是什么?
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中我们应减两次，然而我们却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以我们应该加上多减的一次ABC的交集。
三集合容斥问题的核心公式如下：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。
容斥原理三集合公式如下：容斥原理是集合论中的一个重要原理，用于解决涉及多个集合的计数问题。其中，三集合公式是容斥原理的一个重要应用，用于计算三个集合的并集的元素个数。三集合公式的基本形式为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。
三集合公式：总数=满足条件A+满足条件B+满足条件C-满足条件AB-满足条件AC-满足条件BC+条件ABC都满足+条件ABC都不满足。总数=满足条件A+满足条件B+满足条件C-满足两个条件-2×三个条件都满足+三个条件都不满足。总数=满足一个条件+满足两个条件+三个条件都满足+三个条件都不满足。
求三个集合的交集公式
1、三交集公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C。三个圆交集的公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C。三个圆心（x1，y1）、（x2，y2）、（x2，y2）；半径分别为r1，r2，r3。则交集集合为p（x，y）。（x-x1）的平方+（y-y1）的平方小于r1。
2、三集合容斥原理公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中应减两次，然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。
3、三集合公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
4、容斥原理三集合公式如下：容斥原理是集合论中的一个重要原理，用于解决涉及多个集合的计数问题。其中，三集合公式是容斥原理的一个重要应用，用于计算三个集合的并集的元素个数。三集合公式的基本形式为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。
5、角速度和角度的关系可以用以下公式表示：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|。
怎么能理解“三集合容斥”的公式?
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中我们应减两次，然而我们却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以我们应该加上多减的一次ABC的交集。
二集合容斥原理的公式为：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，三集合容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。其中A和B是两个集合，|A|表示集合A中的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：AUBUC=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。详细推理如下：等式右边改造＝｛-C∩A}+A∩B∩C。文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C 等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么AUBUC还缺部分7。
容斥问题三个集合的公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-三者都不满足的个数。把ABC想象成三个圆形纸片，ABC叠加在一起的面积等于ABC面积之和减去两两重叠的部分，但是中间三者重叠的部分减去了三次，相当于被挖空了，所以还得加上它。
三集合容斥原理标准型公式：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数-三者都不满足个数。三集合容斥非标准型公式是A+B+C－（AB+BC+AC）+ABC＝总数－都不。
设 A、B 和 C 为任意三个集合，容斥原理可以表示为：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| 其中，|A| 表示集合 A 的元素数量。这个原理可以推广到更多的集合上，例如四个集合、五个集合等。
三集合容斥原理标准型公式与非标准型是什么?
1、三集合标准型和非标准型如下：集合容斥非标准型公式是A+B+C－（AB+BC+AC）+ABC＝总数－都不。标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2×三个都满足的。
2、三集合容斥问题的核心公式如下：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。
3、粉笔三者容斥问题3个公式如下：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。
4、容斥问题3个公式如下：标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。
5、容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。三集合容斥问题的核心公式如下：标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。
6、非标准公式：不包含三集合都满足的情况。只要看“满足两种”是否包含“满足三种”的情况，如果包含，是标准型；如果不包含，是非标准型。标准公式需要考虑三集合都满足的情况，而非标准公式则不包含三集合都满足的情况。
