三角形的内心、外心、旁心、重心、垂心的公式有哪些
外心：三角形外接圆的圆心，通过圆周角定理可以推导，同弧所对圆周角为圆心角的一半。半圆所对圆周角为90°，90°圆周角所对弦为直径。已知直径或90°圆周角可辅助作图。重心：三角形三条中线的交点。
重心：三角形三条中线的交点，其坐标公式为：\( \left( \frac{a+b+c}{6}， \frac{a+b-c}{2}， \frac{a-b+c}{2} \right) \)，其中 \( a \)、\( b \)、\( c \) 分别是三角形的三边长。
奔驰定理的核心公式为：若在三角形ABC内部有一点P，且从P到三边的垂足分别为D、E、F，则有PA·BD+PB·CD+PC·AD=PD·AB+PE·BC+PF·CA。证明一：取BC边上的点Q，使得AP与BC延长线相交于Q。
三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 垂心分每条高线的两部分乘积相等。
三角形三条高的交汇点是什么
三角形的三条高分别是从各顶点垂直于对边的线段，交汇点被称为垂心。垂心具有独特的性质，它能帮助我们更好地理解三角形的几何结构。确定垂心位置的方法多种多样。一种方法是重心法，即连接每个顶点与对边的中点，并延长至相交，交点即为垂心。
垂心是三角形三条高的交点，即从三角形的一个顶点向对边作垂线，这条垂线的垂足与顶点之间的线段就是三角形的高。简单说，内心与三角形三边相切，外心让三角形三个顶点“归位”，重心是三角形中线的交汇点，而垂心则是三角形三条高的交汇之处。
垂心，是三角形三条高线的交点，这些高线是从顶点垂直于对边画出的垂线。在不同类型的三角形中，它展现出不同的位置：锐角三角形的垂心位于内部，直角三角形垂心则位于直角顶点，而钝角三角形的垂心则在外部，它揭示了三角形几何结构的微妙变化。
什么是垂心?
垂心是三角形三条高的交点 内心是三角形三条内角平分线的交点 即内接圆的圆心 重心是三角形三条中线的交点 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心 旁心，是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点 正三角形中，中心和重心，垂心，内心，外心重合！垂心定理：三角形的三条高交于一点。
垂心： 定义：三角形的三条高交于一点，该点即为三角形的垂心。 性质：在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部。 内心： 定义：三角形的三条内角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。
垂心是三角形三条高线的交点。在直角三角形中，三条高线交汇于一点，并且形成六个直角，可以分析出十二个直角三角形，进而发现四个点共圆的特性。外心：外心是三角形三条垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等，因此可以帮助构建三角形的外接圆。内心：内心是三角形三条内角平分线的交点。
三角形的内心,外心,重心,垂心分别是什么啊?
定义：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。三角形的内心 定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，也是内切圆的圆心。性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。
外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点，称为外心。外心是三角形的外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。重心：三角形的三条中线交于一点，称为重心。这条点到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍，重心是三角形质量分布的中心。垂心：三角形的三条高交于一点，称为垂心。
三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。三角形的重心：三条中线的交点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。重心分中线比为1：2。三角形的内心：三条角平分线的交点，是三角形的内切圆的圆心的简称。到三边距离相等。
中心：在正三角形中，重心、垂心、外心和内心重合于一点，这一点被称为正三角形的中心。重心：重心是三角形三条中线的交点。重心将中线分为两段，其中较长的一段是较短段的两倍，即分割中线的比例为2：1。重心是三角形内部的一个平衡点，对于理解三角形的内部结构非常重要。
重心、垂心、内心、外心是三角形中的四个重要点，它们各自有不同的定义和性质： 重心： 定义：三角形的三条边的中线交于一点，该点即为三角形的重心。 性质：重心将中线分为2：1的两部分，即重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的两倍。 垂心： 定义：三角形的三条高交于一点，该点即为三角形的垂心。
三角形的外心、内心、垂心和重心分别定义如下：外心：定义：三角形外接圆的圆心。性质：三角形三条边的垂直平分线的交点。内心：定义：三角形内切圆的圆心。性质：三角形三个内角平分线的交点。垂心：定义：三角形三条边的高线的交点。
